Hello, my problem is that the email is being sent only when I go to check the email instead of showing the sender's email shows the recipient's

As I made the above comment, you are confusing with regard to the Sender (Who is sending the email) and Recipient (Who will receive the email), in the case the email that is informed in the field txtEmail, I've adjusted your code and made the comments for you to understand better:

protected void btnEnviar_Click(object sender, EventArgs e)
    {
        //E-mail do destinatário (Quem Receberá o e-mail
        string desEmail = txtEmail.Text; //Recebe o valor informado no campo no Form

        //Remetente é quem envia o e-mail (Deve ser o mesmo do seu servidor de SMTP) no caso gmail
        string remetenteEmail = "[email protected]";//O e-mail do remetente


        MailMessage mail = new MailMessage();

        //Adiciona o destinatário
        mail.To.Add(desEmail);

        //Adiciona o remetente
        mail.From = new MailAddress(remetenteEmail, txtNome.Text, System.Text.Encoding.UTF8);

        //Assunto
        mail.Subject = txtAssunto.Text;

        mail.SubjectEncoding = System.Text.Encoding.UTF8;

        mail.Body = txtMensagem.Text;

        mail.BodyEncoding = System.Text.Encoding.UTF8;

        mail.IsBodyHtml = true;

        mail.Priority = MailPriority.High; //Prioridade do E-Mail


        //SMTP é o servidor de e-mail que irá enviar o e-mail
        SmtpClient client = new SmtpClient();

        //Aqui a credencial tem que ser de quem esta enviando, no caso o Remetente
        client.Credentials = new System.Net.NetworkCredential(remetenteEmail, "123456");

        client.Port = 587; // Esta porta é a utilizada pelo Gmail para envio

        client.Host = "smtp.gmail.com"; //Definindo o provedor que irá disparar o e-mail

        client.EnableSsl = true; //Gmail trabalha com Server Secured Layer

        try

        {

            client.Send(mail);

            lblMensagem.Text = "Envio do E-mail com sucesso";

            lblMensagem.Visible = true;

        }

        catch (Exception ex)

        {

            lblMensagem.Text = "Ocorreu um erro ao enviar:" + ex.Message;

            lblMensagem.Visible = true;

        }
    }