How do I execute the getCity () method with asynctask, and return the value of the string city to use in another method?

I hope this solves your problem without creating others.

public class CadAnuncio extends AppCompatActivity {
    private static Double latiatual, longatual;
    private static String cidade;
    // ...

    @Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
        super.onCreate(savedInstanceState);
        setContentView(R.layout.activity_cad_anuncio);

        // ...

        GetCidade getCidade = new GetCidade(this);
        getCidade.execute();

        // ...
    }

    // ...

    /* Inner classes não estáticas mantêm uma referência da classe do nível 
       de cima. Como esta é uma classe AsyncTask e pelo comportamento de 
       background dela, ela pode acabar sendo executada por mais tempo 
       que a própria activity, mentendo a referêcia à classe em que ela
       está aninhada e, portanto, vazando memória.

       Sendo assim, para evitar esses vazamentos, declaramos esta inner
       class estática.
    */
    private static class GetCidade extends AsyncTask<String, Integer, String> {
        // Não podemos manter uma referência forte da activity
        // pois o contexto pode facilmente se tornar inválido
        // quando a tela for rotacionada, por exemplo
        private WeakReference<Activity> weakActivity;
        private LocationManager locationManager;

        GetCidade(Activity activity) {
            this.weakActivity = new WeakReference<>(activity);
            locationManager = (LocationManager)getSystemService(Context.LOCATION_SERVICE);
        }

        @Override
        protected void onPreExecute() {
            super.onPreExecute();
            // Ótima hora pra mostrar ProgressDialogs
        }

        @Override
        protected String doInBackground(String... strings) {
            if (locationManager == null) {
                return null;
            }
            @SuppressLint("MissingPermission")
            Location location = locationManager.getLastKnownLocation(LocationManager.NETWORK_PROVIDER);

            /* Considere declarar e consumir essas variáveis dentro da AsyncTask
               Por causa do comportamento assíncrono, você "receberá" esses
               valores um tempo depois, e o fluxo da aplicação não 
               parará esperando por eles.               
            */
            latiatual = location.getLatitude();
            longatual = location.getLongitude();
            Verso.getInstance().setup(CadAnuncio.this);
            GeoInfo geoInfo = Verso.getInstance().getGeoInfo(latiatual, longatual);
            return geoInfo.getCityName();
        }

        @Override
        protected void onProgressUpdate(Integer... progress) {
            super.onProgressUpdate(progress);
            int progresso = progress[0];
            // Se precisar, use-o para atualizar o 
            // progresso de algum progress widget na UI.
        }

        @Override
        protected void onPostExecute(String resultado) {
            // Recuperar a referência da activity
            Activity activity = weakActivity.get();
            // Verificar se podemos mecher na UI
            if (activity != null && !activity.isFinishing()) {
                // Feche diálogos aqui
                if (resultado != null) {
                    cidade = resultado;
                    // use cidade globalmente                   
                } else {
                    new AlertDialog.Builder(activity)
                            .setIcon(R.drawable.ic_warning)
                            .setTitle("Falhou")
                            .setMessage("Não deu")
                            .show();
                }

            }
            // else: não podemos fazer mais nada :(
        }

        @Override
        protected void onCancelled() {
            super.onCancelled();
            Toast.makeText(weakActivity.get(), "Cancelado", Toast.LENGTH_SHORT).show();
        }
    }
}

Edit: If you really want to execute the getCity () method on a different thread, get the city value and still keep the flow, you can do something like this:

public class CadAnuncio extends AppCompatActivity {
    private String cidade;
    // ...

    @Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
        super.onCreate(savedInstanceState);
        setContentView(R.layout.activity_cad_anuncio);

        // ...

        new Thread(() -> { // Java 8: https://developer.android.com/studio/write/java8-support?hl=pt-br
            cidade = getCidade();
            if (!isFinishing()) {
                runOnUiThread(() -> {
                    // Continue o fluxo aqui, 
                    // faça algo com 'cidade', chame outros métodos etc.
                    // Já estamos de volta da thread principal
                });
            }
        }).start();

    }

    private String getCidade() {
        AtomicReference<String> resultado = new AtomicReference<>();
        AtomicBoolean completo = new AtomicBoolean(false);
        Location location = locationManager.getLastKnownLocation(LocationManager.NETWORK_PROVIDER);

        latiatual = location.getLatitude();
        longatual = location.getLongitude();
        Verso.getInstance().setup(CadAnuncio.this);
        GeoInfo geoInfo = Verso.getInstance().getGeoInfo(latiatual, longatual);
        resultado.set(geoInfo.getCityName());
        completo.set(true);

        while (true) { // Salvo por rodar eu outra thread
            if (completo.get()) {
                return resultado.get();
            }
        }
    }